- 1 名前:しじみ ★:2019/09/19(木) 10:03:17.94 ID:Y3T6D/1H9.net
■東大入試に求められる「数学のセンス」とは?
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と(周期性がなく)続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大? なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘(たけべ・かたひろ)が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい!
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、OKとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形OATは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理(ピタゴラスの定理)により、OTの長さが分かります。OK=1から、KTの長さが計算でき、さらに、直角三角形KTAに三平方の定理を用いてAK、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
引用元:http://ai.2ch.sc/test/read.cgi/newsplus/1568854997
- 8 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:07:15.28 ID:SLeRkpMC0.net
正五角形の書き方なら知ってる
- 11 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:09:17.22 ID:abcO6btg0.net
円周率の歴史を知ってたら普通に解けるボーナス問題
- 12 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:09:33.07 ID:ZXElkjNM0.net
半径3センチの円と5センチの円が相似なことをどうやって証明したらいいんだ?
- 18 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:10:12.00 ID:a0TQHPIU0.net
円周率は10桁程度知ってれば地球規模の円でも誤差数ミリになるから天文学的運用でも問題ない
- 45 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:18:57.47 ID:dol6BcAG0.net
昔の人の方が頭が良かったんだなあ・・・・
- 48 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:19:46.10 ID:GCBpBlro0.net
A 3.1425・・・と中学校でならったから。
- 49 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:19:57.50 ID:nGeh0E1s0.net
円周率3は数学的に間違っていることを示すために作られた問題
- 61 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:22:36.97 ID:dZNtTL9U0.net
微積で極限を出せるようにしとかないとダメなんじゃないか
- 63 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:23:09.07 ID:N/DmvKZB0.net
円周率の証明は、プログラムを作らせる時代になったのではないか
- 65 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:23:25.38 ID:m47PT2300.net
令和のガウスと呼ばれる俺様降臨☆何でも聞いてくれたまへ
- 88 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:28:21.03 ID:BqTg3gdg0.net
ちょっと何言ってるのかワカラナイ
- 108 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:31:28.52 ID:NwZf0ZhT0.net
https://m.youtube.com/watch?v=uO6dPVWp8CY
- 118 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:33:28.74 ID:sp7aRSdO0.net
別世界過ぎて、数学が魔法のように見えてくる
- 127 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:34:34.26 ID:ozaWUUWB0.net
そもそも円周率ってなんなんだよ!
- 139 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:36:07.88 ID:k59bwsOs0.net
円周率とは何ぞと問う問題だろ
- 143 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:36:39.01 ID:ozaWUUWB0.net
円周率がなんなのかわかんねえよ教えろよ
- 155 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:39:03.79 ID:rRV/6Yjs0.net
>>143
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/375px-Pi-unrolled-720.gif
- 160 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:39:14.73 ID:pK+HcMZk0.net
>>143
「円の周囲の長さは、直径の何倍か」だよ
円にぴったりはまる正六角形を書けば(=正三角形を6個)
「3に近いけどそれよりちょっと長いなー」までは理解できると思う
- 208 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:45:54.86 ID:VK868k8T0.net
>>143
オッパイみたいなもんだ
- 147 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:37:15.17 ID:W4J/8A9Z0.net
ほとんどの業界の実務的レベルでは、円周率は3でOK
- 162 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:39:32.70 ID:rj0yIOI10.net
よくスパコンとかで円周率を解いてるけどこれも正◯角形の方式なの?
- 168 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:41:00.94 ID:kC973M990.net
これは中学生でも解ける奴いるだろ
- 176 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:42:06.56 ID:k59bwsOs0.net
a角形とa-1角形では必ずa角形の方が外周が長いという証明はいらんのか?
- 182 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:42:39.69 ID:M49ZZjeG0.net
はぁ? 簡単すぎてゆとりすぎる
- 183 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:42:42.86 ID:lUrippqV0.net
円周率は3.14だから3.05より大きいのは当たり前。
- 188 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:43:23.92 ID:jDE1Csnu0.net
モッチーのABC予想の件はどーなった?
- 190 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:43:35.34 ID:CORq+iCX0.net
半角の公式で12角形の辺の長さ求めるだけだろ。東大受験生ナメてるな。
- 199 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:44:35.58 ID:qNei4UkC0.net
ちょっと何言ってるかわからないですね
- 213 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:46:39.33 ID:fbN7SLyF0.net
東大卒でも環境大臣になれるとは限らない、、、
- 224 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:47:56.35 ID:x3DBhQXR0.net
捻りの効いた問題を作ろうとして実際に東大で学問を学ぶ資格があるか否かはなおざりにされている
- 231 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:49:22.79 ID:TNe9EQQs0.net
あーなんか大学の二次試験の物理の問題がコペルニクスの原理、楕円軌道やったの思い出したわ
- 241 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:49:59.59 ID:rqjsSIFo0.net
直径を1とした場合3.16で真円に近くなるから3.05より大きい
- 249 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:51:19.22 ID:Ssou9iFk0.net
素で20分かかった・・・ダメだこりゃ。
- 252 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:51:34.71 ID:nPlQVx2G0.net
ブルーハーツのキューティパイって曲思い出した
- 262 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:52:38.63 ID:aEEwt7gd0.net
wikiに3.14て書いてあるからじゃねえの?
- 268 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:53:50.62 ID:enhmyslx0.net
だってそう習ったもん! ← 99割の人間がこうだろ
- 280 名前:名無しさん@1周年:2019/09/19(木) 10:55:01.51 ID:CORq+iCX0.net
自然はエネルギーの低い方に自発的に進む。お前らのオナヌーもだ。